پاسخ فعالیت صفحه 147 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 147 - تمرین 1 این تمرین به شما کمک می‌کند تا یک خاصیت بسیار مهم **زاویه‌های محاطی** را کشف کنید. ### الف) رسم زاویه‌های محاطی برای رسم یک **زاویه‌ی محاطی** روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$، باید یک نقطه‌ی دلخواه (مثلاً $\mathbf{C}$) را روی کمان بزرگ‌تر $\overparen{AB}$ (یا هر جای دیگری از دایره به جز $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$) انتخاب کنیم. سپس $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$ را به $\mathbf{C}$ وصل می‌کنیم تا زاویه‌ی $\mathbf{\angle ACB}$ به دست آید. ### ب) تعداد زوایای محاطی روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$ * **فکر می‌کنید چند زاویه‌ی دیگر می‌توان رسم کرد؟** * **پاسخ:** می‌توان **بی‌نهایت** زاویه‌ی محاطی دیگر روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$ رسم کرد. * **چرا؟** * زیرا می‌توانیم بی‌نهایت نقطه روی کمان بزرگ‌تر $\overparen{AB}$ (یا کمان دیگر) انتخاب کنیم و آن‌ها را به $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$ وصل کنیم. ### ج) برابری زوایای محاطی * **آیا همه‌ی این زاویه‌های رسم شده با هم برابرند؟** * **پاسخ:** بله، همه‌ی این زاویه‌ها با هم **برابرند**. * **چرا؟** * **خاصیت زوایای محاطی:** اندازه‌ی هر زاویه‌ی محاطی **نصف** اندازه‌ی کمان روبه‌رو به آن است. $${ \text{اندازه‌ی زاویه‌ی محاطی} = \frac{1}{2} \times \text{اندازه‌ی کمان روبه‌رو} }$$ * چون تمام این زاویه‌ها روبه‌رو به **یک کمان مشترک** ($\overparen{AB}$) هستند، پس همه‌ی آن‌ها باید نصف یک مقدار ثابت (اندازه‌ی $\overparen{AB}$) باشند. **نتیجه‌گیری مهم (قضیه):** همه **زوایای محاطی** که **روبه‌رو به یک کمان مشترک** باشند، با هم **مساوی** هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 147 - تمرین 2 این تمرین خاصیت زوایای محاطی روبه‌رو به **قطر** را بررسی می‌کند. ### الف) اندازه‌ی کمان‌های تقسیم شده 1. **تقسیم دایره:** چون $\mathbf{\overline{AB}}$ قطر دایره است، دایره را به دو **نیم‌دایره** تقسیم می‌کند. 2. **اندازه کمان:** اندازه‌ی هر دایره $360^{\circ}$ است. * **پاسخ:** اندازه‌ی هر کمان (نیم‌دایره) برابر است با: $${ \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ} }$$ * **چرا؟** زیرا زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به قطر، یک زاویه‌ی نیم‌صفحه ($180^{\circ}$) است. ### ب) تعداد زوایای محاطی روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$ * **چند زاویه‌ی محاطی دیگر می‌توان رسم کرد؟** * **پاسخ:** می‌توان **بی‌نهایت** زاویه‌ی محاطی دیگر روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$ (نیم‌دایره) رسم کرد (مانند تمرین ۱). * **چرا؟** چون بی‌نهایت نقطه برای قرار دادن رأس زاویه روی نیم‌دایره‌ی دیگر وجود دارد. ### ج) اندازه‌ی زوایای محاطی روبه‌رو به قطر * **اندازه‌ی این زاویه‌های محاطی مقابل قطر چند درجه است؟** * **پاسخ:** اندازه‌ی همه‌ی آن‌ها $\mathbf{90^{\circ}}$ است. * **چرا؟** * **قانون زاویه‌ی محاطی:** اندازه‌ی زاویه‌ی محاطی نصف اندازه‌ی کمان روبه‌رو به آن است. * کمان روبه‌رو به این زوایا، کمان $\overparen{AB}$ است که یک **نیم‌دایره** ($\mathbf{180^{\circ}}$) می‌باشد. * **محاسبه:** $${ \text{اندازه‌ی زاویه} = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ} }$$ **نتیجه‌گیری مهم (قضیه):** هر **زاویه‌ی محاطی** که روبه‌رو به **قطر** دایره باشد، یک **زاویه‌ی قائمه ($90^{\circ}$)** است.